El test Dickey Fuller y la reversión a la media

10 febrero, 2022 | Sin categoría | 0 comentarios.

Este artículo es cortesía de Oscar Cagigas de www.onda4.com. Podéis suscribiros a todos sus informes desde http://www.onda4.com/informes.html

Ayer tuvimos un fuerte rebote (+2.4% en el futuro mini del SP500 y +3.2% en el Nasdaq100), pero es que ahora los rangos de movimiento son así de grandes debido a la subida de volatilidad. De hecho, la subida de ayer fue de 2.31 desviaciones estándar.

Sin embargo, y a pesar del fuerte rebote de ayer, desde un punto de vista chartista la figura que está haciendo el SP500 tiene mucha pinta de bandera bajista. El soporte y punto de rotura de la bandera está bien claro; es el nivel 4250 que no deberá traspasarse para que el mercado pueda recuperarse. Con un VIX a 27.66 y 542 nuevos mínimos (no mostrado) al cierre de ayer es evidente que el mercado sigue estando muy peligroso así que uno debería reducir al máximo la exposición a la renta variable hasta que todo se calme.

En los informes sobre Cointegración del 2021 vimos que una prueba estadística importante que le podemos hacer a nuestras series temporales (los precios de los activos) es el test de Dickey-Fuller. En estos informes le explicaba que hay programas de estadística avanzada que lo calculan directamente, como eViews. Sin embargo, estos programas no son utilizados por el público general pues son demasiado especializados.

Hoy quiero contarle la forma de hacer un test de Dickey-Fuller en un programa tan cotidiano como Excel. Verá que no es demasiado complicado y que nos permite obtener información valiosa de los precios, como es su estacionalidad y/o la existencia de raíces unitarias.

Primero vamos a recordar lo que es una raíz unitaria. Mire el gráfico de debajo. Es una serie temporal de precios que recibe un shock por algún evento, p.e. noticias. Si la serie tiene raíz unitaria su comportamiento es el de paseo aleatorio y seguirá su camino a partir del punto donde llegó después del shock (línea verde).

Pero si la serie no tiene raíz unitaria entonces se considera que es una serie estacionaria y de alguna manera tiende a volver al camino que tenía (la línea negra discontinua) antes del shock de precio, y que en el gráfico anterior vemos representado por una línea azul.

Lo de la raíz unitaria es por el modelo browniano de paseo aleatorio. El modelo general es el siguiente:

y_t = m +Φy_t-1 + e

Es decir, el precio de hoy (y_t) se puede calcular como una tendencia (m) más el precio de ayer (Φy_t-1) multiplicado por un coeficiente (Φ) más un ruido (e).

En este modelo si Φ = 1 entonces tenemos lo siguiente:

y_t = m +y_t-1 + e

Esto es lo que se llama raíz unitaria, cuando Φ vale 1, y hace que el impacto del precio de ayer en el de hoy sea equivalente o esté multiplicado por 1.

Piense que si este coeficiente fuera mayor que uno entonces la serie cada vez oscilaría con más fuerza (números cada vez mayores) y acabaría valiendo infinito o –infinito. Y si este coeficiente fuera menor de 1 (en valor absoluto) entonces el peso que tiene el precio de ayer cada vez es menor y al final la serie termina por donde iba antes, lo que se aprecia muy bien en el gráfico de la página anterior con la línea azul.

Pues bien, el test de Dickey-Fuller nos permite saber si una serie es estacionaria; o lo que es lo mismo, si carece de raíces unitarias.

En teoría, si una serie no tiene raíz unitaria entonces es buena idea operarla con técnicas de reversión a la media. De alguna manera la estadística nos dice que lo más probable es que si compramos una serie cuando ha caído mucho entonces es probable que haya un rebote, la reversión a la media. Si una serie pasa el test de Dickey-Fuller entonces podemos afirmar que, con un cierto grado de confianza, esa serie es estacionaria y podemos ganar dinero operándola con reversión a la media.

Como curiosidad le comento que los PRECIOS del SP500 tienen raíces unitarias (no son estacionarios) pero los RETORNOS DIARIOS sí que lo son, así que comprar al final de un día en el que el SP500 ha caído mucho, o abrir cortos al final de un día en el que el SP500 ha subido mucho suele salir bien si uno se conforma con un objetivo de precio modesto, tras un giro que suele ocurrir casi siempre.

De hecho, esta reversión la pudimos confirmar en el informe del 27 de marzo de 2021 mediante las Cadenas de Markov. Y también, en el informe del 9 de marzo del año pasado, vimos el sistema 00:00 que hace precisamente eso que acabo de comentar. La descripción de la estrategia y la curva de capital resultante que vemos debajo están extraídas de este informe mencionado:

Una vez explicadas las razones por las que nos interesa saber hacer un test de Dickey-Fuller vamos a hacer uno. Para el propósito de este informe me he creado una serie a mano, un ejemplo de serie que sea lo más estacionaria que pueda, para que pase el test, y así vemos con qué confianza estadística. Tengo que reconocer que no me ha resultado fácil hacerlo porque cuando trabajas con pocos datos las pruebas estadísticas no suelen concluir nada, por aquello de la poca confianza estadística, así que la serie que me he construido con pocos datos es “descaradamente estacionaria”. Debajo la vemos, parece un electrocardiograma. Y aquí le paso los 28 datos, por si quiere reproducir el ejemplo (representan una única columna).

El test de Dickey-Fuller empieza por calcular la diferencia entre un dato y su predecesor (esto lo llamaremos delta), para hacer una regresión lineal de la delta con el valor de la serie retrasado un periodo (esto lo llamaremos laggedX, del inglés lagged o retrasado). Una vez tengamos los coeficientes de la regresión lineal entre delta y laggedX el resultado del test DF es el estadístico t, que se calcula como la beta de la regresión lineal entre su error de estimación. En realidad es más sencillo de lo que parece, lo hacemos y lo verá enseguida.

Nuestros datos de partida están entre las casillas A1 y A28; lo que vemos en amarillo a la izquierda. Para calcular la delta simplemente hacemos B2 = A2 – A1 y arrastramos hasta llenar la columna. Fíjese que al hacer esto desechamos un dato, y nuestra delta tiene 27 datos.

Como he comentado, hay que hacer la regresión de la delta usando los valores de X retrasada o LaggedX, así que vamos a hacer una regresión lineal de B2:B28 con A1:A27. No se preocupe si las columnas no van alienadas, lo importante es que ambas tengan 27 datos.

Puede utilizar la fórmula Excel REGRESION.LINEAL() o puede utilizar la herramienta de análisis de datos REGRESIÓN. En este ejemplo voy a utilizar la herramienta de análisis de datos.

Arriba vemos que la pestaña “datos” de Excel contiene la herramienta “análisis de datos”. Si no le aparece entonces tendrá que instalarla desde el botón de Office, opciones de Excel. Al seleccionar esta herramienta nos aparece un cuadro de diálogo que tenemos que rellenar.

Fíjese en los rangos de entrada, debajo, y también que he marcado una casilla para que me muestre los residuos. Los residuos son la diferencia entre el valor estimado de delta (por regresión lineal) y su valor real.

El resultado de la regresión lineal lo crea en otra pestaña y es lo que vemos debajo. He resaltado los datos que nos interesan. En azul vemos la suma de los cuadrados de los residuos. Esta es una forma de saber el error que tiene nuestra estimación. En rojo vemos el coeficiente beta de la regresión lineal y en un color más claro (rosa, a la derecha) vemos su error de estimación. En verde vemos el coeficiente alfa de la regresión lineal. También nos dan su error de estimación (0.21059), aunque este dato no lo usaremos.

Y en fucsia vemos el estadístico t. Este es el valor que nos interesa y que esta herramienta nos proporciona directamente. En caso de haber utilizado la fórmula matricial ESTIMACION.LINEAL podríamos obtener el valor de t dividiendo la beta entre su error típico. Depende de lo que queramos hacer puede interesarnos más la fórmula, que podremos arrastrar y utilizar para más casillas, que la función de regresión lineal que solo nos calcula un valor de t.

Recapitulemos. Hemos cogido nuestros datos X, hemos calculado la diferencia con el valor anterior y eso lo llamamos delta; hemos hecho una regresión lineal de delta con el valor anterior de X (laggedX). De esto ha salido una recta de la forma:

delta = -0.464064*LaggedX – 0.0034375

Donde lo que multiplica a laggedX es la beta (en rojo en la página anterior) y el término independiente es alfa, en verde en la página anterior.

Nuestra estimación de delta no es perfecta. Debajo vemos el pronóstico de la delta y el error que se comete. Por ejemplo, en el segundo dato de delta (-1.4) el pronóstico es de -0.1890 así que el error es -1.2109368.

Si sumamos los cuadrados de los errores sale 29.93539 (en azul). Con este dato podríamos calcular el error de la beta si no lo tuvieramos.

Ahora iríamos a las tablas del estadístico t de Dickey-Fuller para ver que el nivel del 90% es t = -2.6274. Y como nuestra t es menor, y con valor -2.7483 pues entonces pasa el test, al 90% de confianza.

Esto nos permite concluir que la serie es estacionaria y no tiene raíces unitarias. Sería buena idea operarla con reversión a la media (comprar cuando cae y vender cuando sube). Esto es evidente a simple vista, pero recuerde que se trata de un ejemplo muy simple para mostrarle cómo hacer la prueba Dickey-Fuller en excel.

Debajo vemos la comprobación utilizando el software de estatística eViews. He resaltado los resultados importantes con el mismo color que en las páginas anteriores.